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\lhead{ COURS MPSI}\chead{ \large {A 8 B. ALG\`EBRE LINÉAIRE : MATRICES}} \rhead {R. FERREOL  16/17}
\input{tcilatex}

\begin{document}


B) MATRICES

$E$,$F$ et $G$ d\'{e}signent toujours des $K$-espaces vectoriels.

\bigskip

RAPPELS : une matrice $A$ \`{a} $n$ lignes et $p$ colonnes (ou \textit{de
format} $\left( n,p\right) )$ \`{a} coefficients dans $K$ est une
application de $\left[ \left\vert 1,n\right\vert \right] \times \left[
\left\vert 1,p\right\vert \right] $ dans $K$ ; \newline
pour $\left( i,j\right) \in \left[ \left\vert 1,n\right\vert \right] \times %
\left[ \left\vert 1,p\right\vert \right] ,$ $A\left( i,j\right) $ est
souvent not\'{e} de fa\c{c}on indicielle $a_{ij},$ de sorte que $A$ est not%
\'{e}e $\left( a_{ij}\right) _{\substack{ 1\leqslant i\leqslant n  \\ %
1\leqslant j\leqslant p}}$ ;\newline
on la repr\'{e}sente aussi par le tableau rectangulaire :$\left[ 
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} &  & a_{1p} \\ 
a_{21} & a_{22} &  & a_{2p} \\ 
... &  &  &  \\ 
a_{n1} &  &  & a_{np}%
\end{array}%
\right] $ $=~\ i%
\begin{array}{c}
\;j\; \\ 
\left[ 
\begin{array}{ccccc}
&  & a_{1j} &  &  \\ 
&  & ... &  &  \\ 
a_{i1} & ... & a_{ij} & ... & a_{ip} \\ 
&  & .... &  &  \\ 
&  & a_{nj} &  & 
\end{array}%
\right]%
\end{array}%
$;\newline
l'ensemble $K^{\left[ \left\vert 1,n\right\vert \right] \times \left[
\left\vert 1,p\right\vert \right] }$ de ces matrices est not\'{e} $%
M_{np}\left( K\right) $ ; on sait que c'est un $K$-espace vectoriel de
dimension $np,$ (donc isomorphe \`{a} $K^{np}),$ dont la base canonique est
form\'{e}e des matrices canoniques $\left( E_{kl}\right) _{_{\substack{ %
1\leqslant k\leqslant n  \\ 1\leqslant l\leqslant p}}}$ avec $E_{kl}\left(
i,j\right) =\delta _{....}\delta _{....}.$

\qquad

\qquad I) MATRICE D'UNE APPLICATION LIN\'{E}AIRE RELATIVEMENT \`{A} DEUX
BASES.

\bigskip

\qquad 1) Propri\'{e}t\'{e} fondamentale.

\bigskip

PROP : la connaissance des images des vecteurs d'une base de l'espace de d%
\'{e}part caract\'{e}rise enti\`{e}rement une application lin\'{e}aire ;
plus pr\'{e}cis\'{e}ment : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left( 
\begin{array}{c}
\mathcal{B}=\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{n}}\right)
\;\text{base de }E \\ 
\left( \overrightarrow{y_{1}},...,\overrightarrow{y_{n}}\right) \in F^{n}%
\end{array}
\right. \;$}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\exists !f\in L\left( E,F\right)
\;/\;\forall i\in \lbrack \left| 1,n\right| ]\;\;f\left( \overrightarrow{%
e_{i}}\right) =\overrightarrow{y_{i}}$}}
\end{equation*}

\bigskip \qquad \qquad D1

\bigskip \qquad 2) D\'{e}finition.

DEF : la \textit{matrice} d'une application lin\'{e}aire entre espaces de
dimensions finies \textit{relativement \`{a} (ou dans) }une base de l'espace
de d\'{e}part et une base de l'espace d'arriv\'{e}e, est la matrice dont les 
\textit{colonnes} sont les coordonn\'{e}es dans la base d'arriv\'{e}e des
images des vecteurs de la base de d\'{e}part ; autrement dit : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{$\;\left( 
\begin{array}{l}
f\in L\left( E,F\right) \\ 
\mathcal{B}=\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{n}}\right)
\;\text{base de }E \\ 
\mathcal{C}=\left( \overrightarrow{f_{1}},...,\overrightarrow{f_{p}}\right)
\;\text{base de }F \\ 
A=\left( a_{ij}\right) _{\substack{ 1\leqslant i\leqslant p  \\ 1\leqslant
j\leqslant n}}\in \mathcal{M}_{pn}\left( K\right)%
\end{array}%
\right. \;$}\;\;\text{alors\ \ \fbox{$A=\limfunc{mat}_{\left( \mathcal{B},%
\mathcal{C}\right) }\left( f\right) \overset{def}{\Leftrightarrow }\forall
j\in \left[ \left\vert 1,n\right\vert \right] \;\;\;f\left( \overrightarrow{%
e_{j}}\right) =\underset{i=....}{\overset{....}{\dsum }}a_{.....}%
\overrightarrow{f_{...}}$}}
\end{equation*}

Par une repr\'{e}sentation en tableau : $\overset{%
\begin{tabular}{lllll}
$f\left( \overrightarrow{e_{1}}\right) $\  & ... & $\;f\left( 
\overrightarrow{e_{j}}\right) \;$ & ... & $f\left( \overrightarrow{e_{n}}%
\right) $\ \ 
\end{tabular}%
\ }{\left[ 
\begin{array}{ccccc}
&  & a_{1j} &  &  \\ 
&  & ... &  &  \\ 
a_{i1} & ......... & a_{ij} & ......... & a_{in} \\ 
&  & .... &  &  \\ 
&  & a_{pj} &  & 
\end{array}%
\right] }%
\begin{tabular}{l}
$\overrightarrow{f_{1}}$ \\ 
... \\ 
$\overrightarrow{f_{i}}$ \\ 
... \\ 
$\overrightarrow{f_{p}}$%
\end{tabular}%
\ $

$a_{ij}$ est donc la .....\`{e}me coordonn\'{e}e dans la base d'arriv\'{e}e
de l'image par $f$ du .....i\`{e}me vecteur de la base de d\'{e}part.

\bigskip

ATTENTION\ : une matrice d'une application lin\'{e}aire d'un espace de
dimension $n$ vers un espace de dimension $p$ est de format $\left(
p,n\right) $ et non $\left( n,p\right) $ !

\bigskip

REM : pour la matrice d'un endomorphime de $E,$ on prend en g\'{e}n\'{e}ral
la m\^{e}me base pour $E$ en tant qu'espace de d\'{e}part, et pour $E$ en
tant qu'espace d'arriv\'{e}e ; notation : $\limfunc{mat}_{\left( \mathcal{B},%
\mathcal{B}\right) }\left( f\right) $ est simplifi\'{e} en $\limfunc{mat}_{%
\mathcal{B}}\left( f\right) .$

\bigskip

Vocabulaire : la matrice d'une application lin\'{e}aire de $K^{n}$ dans $%
K^{p}$ relativement aux bases canoniques de $K^{n}$ et $K^{p}$ est appel\'{e}%
e la \textit{matrice canonique} de cette application.

\bigskip

\qquad 3) Exemples.

E1 :

\qquad - la matrice canonique de $\left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y%
\end{array}
\right) \mapsto \left( 
\begin{array}{c}
ax+by \\ 
cx+dy%
\end{array}
\right) $ est $\left[ 
\begin{array}{cc}
... & ... \\ 
... & ...%
\end{array}
\right] .$

\qquad -\ la matrice canonique de $\left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y%
\end{array}
\right) \mapsto \left( 
\begin{array}{c}
ax+by \\ 
cx+dy \\ 
ex+fy%
\end{array}
\right) $ est $\left[ 
\begin{array}{cc}
&  \\ 
&  \\ 
& 
\end{array}
\right] $

\qquad - la matrice canonique de $\left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y \\ 
z%
\end{array}
\right) \mapsto \left( 
\begin{array}{c}
ax+by+cz \\ 
dx+ey+fz%
\end{array}
\right) $ est

\qquad

\qquad - la matrice canonique de $x\mapsto \left( ax,bx,cx\right) $ est

\bigskip

\qquad - la matrice canonique de $(x,y,z)\mapsto ax+by+cz$ est

\bigskip

\qquad - la matrice de l'application nulle de $E$ de dimension $n$ vers $F$
de dimension $p$ est, quelles que soient les bases choisies : 
\begin{equation*}
\left[ 
\begin{array}{ccccc}
&  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  \\ 
&  &  &  & 
\end{array}
\right] ={\LARGE 0}_{........}
\end{equation*}

\bigskip

\qquad - la matrice de l'identit\'{e} est ind\'{e}pendante de la base
choisie :$\;$%
\begin{equation*}
\limfunc{mat}{}_{\mathcal{B}}\left( id_{E}\right) =\left[ 
\begin{array}{cccc}
&  &  &  \\ 
&  &  &  \\ 
&  &  &  \\ 
&  &  & 
\end{array}
\right] =\left( \delta _{ij}\right) _{1\leqslant i,j\leqslant n}
\end{equation*}

Cette matrice est appel\'{e}e la \textit{matrice identit\'{e}} d'ordre $n$
et not\'{e}e $I_{n}.$

\bigskip

REM : si l'on ne prend pas la m\^{e}me base pour le d\'{e}part et pour
l'arriv\'{e}e, la matrice de l'identit\'{e} n'est plus la matrice identit%
\'{e} ! Par exemple, si $E$ est de base $\left( \overrightarrow{e_{1}},%
\overrightarrow{e_{2}}\right) $ et $\left\{ 
\begin{array}{c}
\overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}} \\ 
\overrightarrow{e_{4}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}%
\end{array}
\right. ,$ 
\begin{equation*}
\limfunc{mat}\;_{\left( \left( \overrightarrow{e_{3}},\overrightarrow{e_{4}}%
\right) ,\left( \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}}\right) \right)
}\left( id_{E}\right) =\left[ 
\begin{array}{cc}
&  \\ 
& 
\end{array}
\right] ,\limfunc{mat}\;_{\left( \left( \overrightarrow{e_{1}},%
\overrightarrow{e_{2}}\right) ,\left( \overrightarrow{e_{3}},\overrightarrow{%
e_{4}}\right) \right) }\left( id_{E}\right) =\left[ 
\begin{array}{cc}
&  \\ 
& 
\end{array}
\right]
\end{equation*}

\qquad - la matrice de l'homoth\'{e}tie de rapport $a,$ $h_{a}=a.id_{E}$ est
aussi ind\'{e}pendante de la base choisie :$\;$%
\begin{equation*}
\limfunc{mat}{}_{\mathcal{B}}\left( h_{a}\right) =\left[ 
\begin{array}{cccc}
&  &  &  \\ 
&  &  &  \\ 
&  &  &  \\ 
&  &  & 
\end{array}
\right] =aI_{n}
\end{equation*}

\bigskip

\qquad - par contre, la matrice d'une projection ou d'une sym\'{e}trie d\'{e}%
pend de la base choisie.

DEF : si $E=F\oplus G,$ on dit qu'une base $\mathcal{B}$ de $E$ est \textit{%
adapt\'{e}e} \`{a} cette d\'{e}composition si c'est la concat\'{e}nation
d'une base de $F$ et d'une base de $G.$

Si donc, $\mathcal{B}$ est adapt\'{e}e, $p=$ projection de base $F$ et de
direction $G,$ $q=id_{E}-p,s=p-q$

\bigskip

$\limfunc{mat}{}_{\mathcal{B}}\left( p\right) =\left[ 
\begin{array}{cccccc}
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  & 
\end{array}
\right] ,\limfunc{mat}{}_{\mathcal{B}}\left( q\right) =\left[ 
\begin{array}{cccccc}
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  & 
\end{array}
\right] ,\limfunc{mat}{}_{\mathcal{B}}\left( s\right) =\left[ 
\begin{array}{cccccc}
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  &  & 
\end{array}
\right] $

\bigskip

\qquad - la matrice de la d\'{e}rivation de $K_{3}[X]$ dans $K_{2}[X]$ dans
les bases canoniques est :

\begin{equation*}
\left[ 
\begin{array}{cccc}
.. & .. & .. & .. \\ 
.. & .. & .. & .. \\ 
.. & .. & .. & ..%
\end{array}%
\right]
\end{equation*}

\bigskip

\qquad \qquad 4) Caract\'{e}risation d'une application lin\'{e}aire par
l'une de ses matrices.

\bigskip

PROP (corollaire de la propri\'{e}t\'{e} fondamentale ci-dessus) : si $%
\mathcal{B}\;$base de $E\;$de dimension $n,\mathcal{C}\;$base de $F$ de
dimension $p$ et $A\in M_{pn}\left( K\right) ,$ il existe une unique
application lin\'{e}aire $f\in L\left( E,F\right) $ telle que 
\begin{equation*}
A=\limfunc{mat}\,_{\left( \mathcal{B},\mathcal{C}\right) }\left( f\right)
\end{equation*}

\bigskip Ceci signifie que l'application : $\left\{ 
\begin{array}{l}
...........\rightarrow .......... \\ 
...........\mapsto ..........%
\end{array}
\right. $ est ..............

\bigskip

II) OP\'{E}RATIONS SUR LES MATRICES

\qquad 1) Addition et multiplication externe.

\bigskip

Notions d\'{e}j\`{a} vues dans le cours sur les espaces vectoriels ; notons
qu'on ne peut additionner que des matrices de m\^{e}mes formats. On sait que 
$\left( M_{np}\left( K\right) ,+,.(\text{ext.})\right) $ a une structure de
.........................

\bigskip

PROP : si $\mathcal{B}\;$base de $E\;$de dimension $n,$ $\mathcal{C}\;$base
de $F$ de dimension $p$, $f\in L\left( E,F\right) $ et $\lambda \in K,$ on a 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\limfunc{mat}_{\left( \mathcal{B},\mathcal{C}\right) }\left( f+g\right) =%
\limfunc{mat}_{\left( \mathcal{B},\mathcal{C}\right) }\left( f\right) +%
\limfunc{mat}_{\left( \mathcal{B},\mathcal{C}\right) }\left( g\right) $ \\ 
\hline
$\limfunc{mat}_{\left( \mathcal{B},\mathcal{C}\right) }\left( \lambda
f\right) =\lambda \limfunc{mat}_{\left( \mathcal{B},\mathcal{C}\right)
}\left( f\right) $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

Ceci signifie que l'application : $\left\{ 
\begin{array}{l}
...........\rightarrow .......... \\ 
...........\mapsto ..........%
\end{array}%
\right. $ est ................ ; combin\'{e} avec la propri\'{e}t\'{e}
ci-dessus, c'est donc un ...................

D2

\bigskip

COROLLAIRE : si les ev $E$ et $F$ sont de dimensions finies, $L\left(
E,F\right) $ est lui aussi de dimension finie et 
\begin{equation*}
\fbox{$\dim L\left( E,F\right) =$..................}
\end{equation*}

\bigskip

\qquad 2) Multiplication des matrices.

\bigskip

\qquad a) Recherche de la d\'{e}finition.

\bigskip

Le produit des matrices va \^{e}tre d\'{e}fini de sorte qu'au \textit{produit%
} de deux matrices corresponde la \textit{compos\'{e}e} des applications lin%
\'{e}aires associ\'{e}es ; recherchons donc la matrice d'une compos\'{e}e
d'applications lin\'{e}aires.

\bigskip

PROP : si $\fbox{$\left\{ 
\begin{array}{c}
f\in L\left( E,F\right) \; \\ 
g\in L\left( F,G\right)%
\end{array}
\right. ,\;\left( 
\begin{array}{l}
\mathcal{B}=\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{n}}\right)
\;\text{base de }E \\ 
\mathcal{C}=\left( \overrightarrow{f_{1}},...,\overrightarrow{f_{p}}\right)
\;\text{base de }F \\ 
\mathcal{D}=\left( \overrightarrow{g_{1}},...,\overrightarrow{g_{q}}\right)
\;\text{base de }G%
\end{array}
\right. \;\left\{ 
\begin{array}{l}
A=\limfunc{mat}_{\left( \mathcal{B},\mathcal{C}\right) }\left( f\right) \in
M_{pn}\left( K\right) \\ 
B=\limfunc{mat}_{\left( ....,.....\right) }\left( g\right) \in
M_{.......}\left( K\right) \\ 
C=\limfunc{mat}_{\left( ....,....\right) }\left( g\circ f\right) \in
M_{........}\left( K\right)%
\end{array}
\right. $}$

alors 
\begin{equation*}
C\left( i,j\right) =\underset{k=1}{\overset{.......}{\dsum }}B\left(
i,k\right) A\left( k,j\right) ,\;\text{pour tout }\left( i,j\right) \in %
\left[ \left| 1,.....\right| \right] \times \left[ \left| 1,.....\right| %
\right]
\end{equation*}

D3

\bigskip

D'o\`{u} la

\bigskip

\qquad b) D\'{e}finition.

DEF : si $A$ est une matrice de format $\left( n,p\right) $ et $B$ une
matrice de format $\left( p,q\right) $ la matrice produit $AB$ est la
matrice de format $\left( n,q\right) $ d\'{e}finie par 
\begin{equation*}
\left( AB\right) \left( i,j\right) =\underset{k=1}{\overset{p}{\dsum }}%
A\left( i,k\right) B\left( k,j\right) \;\text{pour tout }\left( i,j\right)
\in \left[ \left| 1,n\right| \right] \times \left[ \left| 1,q\right| \right]
\end{equation*}

\bigskip

\bigskip REM 0 : remarquer l'esp\`{e}ce de ''relation de Chasles'' : 
\begin{equation*}
\text{format }\left( n,p\right) \;\times \text{format }\left( p,q\right) \;=%
\text{format }\left( n,q\right)
\end{equation*}

\bigskip

REM 1 : il est pratique de pr\'{e}senter le produit de 2 matrices sous la
forme :

\bigskip

F1

\bigskip

REM 2 : le produit matriciel n'est donc pas une loi de composition interne
dans l'ensemble de toutes les matrices, ni m\^{e}me dans $M_{np}\left(
K\right) $ avec $n\neq p$ ; par contre, c'en est une dans l$^{\prime }$%
ensemble des matrices carr\'{e}es d'ordre $n$ $M_{n}\left( K\right) .$

\bigskip

REM 3 : le produit matriciel n'est \'{e}videmment pas commutatif puisqu'un
produit peut \^{e}tre possible dans un sens et ne pas l'\^{e}tre dans
l'autre.

\bigskip

REM 4 : le nombre $\left\{ 
\begin{array}{l}
\text{d'additions} \\ 
\text{de multiplications}%
\end{array}
\right. $pour effectuer $\left( AB\right) \left( i,j\right) $ vaut $\left\{ 
\begin{array}{c}
..... \\ 
......%
\end{array}
\right. ,$ donc

\bigskip le nombre $\left\{ 
\begin{array}{l}
\text{d'additions} \\ 
\text{de multiplications}%
\end{array}
\right. $pour effectuer le produit $AB$ vaut $\left\{ 
\begin{array}{c}
..... \\ 
......%
\end{array}
\right. $

\bigskip

REM 5 : le produit d'une matrice-ligne (format $(1,n))$ par une
matrice-colonne (format $\left( n,1)\right) $ donne une matrice de format $%
\left( 1,1\right) ,$ que l'on identifie avec son coefficient : 
\begin{equation*}
\left[ a_{1},...,a_{n}\right] .\left[ 
\begin{array}{c}
b_{1} \\ 
... \\ 
b_{n}%
\end{array}%
\right] =\left[ \underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}a_{k}b_{k}\right] \overset%
{\text{abus\ d}^{\prime }\text{\'{e}criture}}{=}\underset{k=1}{\overset{n}{%
\dsum }}a_{k}b_{k}
\end{equation*}

\bigskip

REM\ 6 : avec cet abus d'\'{e}criture, le coefficient $\left( AB\right)
\left( i,j\right) $ de la i\`{e}me ligne et de la j\`{e}me colonne de $AB$
s'interpr\`{e}te comme le produit matriciel de la i\`{e}me ligne $L_{i}$ de $%
A$ et de la j\`{e}me colonne $C_{j}$ de $B$ ; en effet : 
\begin{equation*}
L_{i}C_{j}=\left[ a_{i1},...,a_{ip}\right] \left[ 
\begin{array}{c}
b_{1j} \\ 
... \\ 
b_{pj}%
\end{array}
\right] =\underset{k=1}{\overset{p}{\dsum }}a_{ik}b_{kj}=\left( AB\right)
\left( i,j\right)
\end{equation*}

\bigskip

REM 7 : le produit d'une matrice-colonne (format $(n,1))$ par une
matrice-ligne (format $\left( 1,n)\right) $ donne une matrice carr\'{e}e
d'ordre $n$ : 
\begin{equation*}
\left[ 
\begin{array}{c}
a_{1} \\ 
... \\ 
a_{n}%
\end{array}
\right] \left[ b_{1},...,b_{n}\right] =\left[ 
\begin{array}{cccc}
&  &  &  \\ 
&  &  &  \\ 
&  &  &  \\ 
&  &  & 
\end{array}
\right] =\left( ..........\right) _{1\leqslant i,j\leqslant n}
\end{equation*}

\bigskip

\qquad c) Propri\'{e}t\'{e}s.

\bigskip

\qquad \qquad $\alpha )$ Matrice d'une compos\'{e}e.

\bigskip PROP (due \`{a} la d\'{e}finition m\^{e}me du produit des matrices)
:

si $\fbox{$\left\{ 
\begin{array}{c}
f\in L\left( E,F\right) \; \\ 
g\in L\left( F,G\right)%
\end{array}
\right. ,\;\left( 
\begin{array}{l}
\mathcal{B}\;\text{base de }E \\ 
\mathcal{C}\;\text{base de }F \\ 
\mathcal{D}\;\text{base de }G%
\end{array}
\right. \;$}$, alors \fbox{$\limfunc{mat}_{\left( \mathcal{B},\mathcal{D}%
\right) }\left( g\circ f\right) =\limfunc{mat}_{\left( \mathcal{C},\mathcal{D%
}\right) }\left( g\right) \times \limfunc{mat}_{\left( \mathcal{B},\mathcal{C%
}\right) }\left( f\right) $}.

\bigskip

ATTENTION : On n'a donc malheureusement qu'une relation de Chasles ''\`{a}
l'envers'' :-( par contre, pour les endomorphismes, tout va bien :-)

si $\fbox{$f\in L\left( E\right) \;,\;\mathcal{B}\;$base de $E\;$}$, alors 
\fbox{$\limfunc{mat}_{\mathcal{B}}\left( g\circ f\right) =\limfunc{mat}_{%
\mathcal{B}}\left( g\right) \times \limfunc{mat}_{\mathcal{B}}\left(
f\right) $}

\qquad \qquad $\alpha )$ ''Associativit\'{e}''.

PROP : si $\left\{ 
\begin{array}{c}
A\in \mathcal{M}_{np}\left( K\right) \\ 
B\in \mathcal{M}_{pq}\left( K\right) \\ 
C\in \mathcal{M}_{qr}\left( K\right)%
\end{array}%
\right. $ alors $\left( AB\right) C=A\left( BC\right) $

\bigskip

D4 (par les applications lin\'{e}aires, et par le calcul).

\bigskip

\qquad \qquad $\beta )$ "Distributivit\'{e}".

\bigskip

PROP : si $\left\{ 
\begin{array}{c}
\left\{ 
\begin{array}{c}
A\in \mathcal{M}_{np}\left( K\right) \\ 
B,C\in \mathcal{M}_{pq}\left( K\right)%
\end{array}%
\right. \text{ alors }A\left( B+C\right) =AB+AC \\ 
\left\{ 
\begin{array}{c}
A,B\in \mathcal{M}_{np}\left( K\right) \\ 
C\in \mathcal{M}_{pq}\left( K\right)%
\end{array}%
\right. \;\text{alors }\left( A+B\right) C=AC+BC%
\end{array}%
\right. $

\bigskip

D5 (par les applications lin\'{e}aires, et par le calcul).

\bigskip

\qquad \qquad $\gamma )$ Relations avec la multiplication externe .

PROP : si $\left\{ 
\begin{array}{c}
A\in M_{np}\left( K\right) ,B\in M_{pq}\left( K\right) \\ 
\lambda \in K\;\;\;\;%
\end{array}
\;\;A\left( \lambda B\right) =\left( \lambda A\right) B=\lambda AB\right. $

\bigskip

COROLLAIRE : $\left( \mathcal{M}_{n}\left( K\right) ,+,.(\text{int.})\right) 
$ est un anneau. Cet anneau n'est ni int\`{e}gre, ni commutatif d\`{e}s que $%
n\geqslant 2$ ; de plus, la bijection $\left\{ 
\begin{array}{l}
...........\rightarrow .......... \\ 
...........\mapsto ..........%
\end{array}%
\right. $ est un isomorphisme d'anneaux.

D6

\bigskip

\bigskip

\qquad III) EXPRESSION\ MATRICIELLE D'UNE APPLICATION\ LIN\'{E}AIRE.

\bigskip

PROP : donn\'{e}es :

$E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels de dimensions finies $n$ et $p,$

$\mathcal{B}=\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{n}}\right)
\;$base de $E,\;\mathcal{C}=\left( \overrightarrow{f_{1}},...,%
\overrightarrow{f_{p}}\right) \;$base de $F,$

$f\in L\left( E,F\right) ,A=\left( a_{ij}\right) =\limfunc{mat}_{\left( 
\mathcal{B},\mathcal{C}\right) }\left( f\right) \in M_{pn}\left( K\right) ,$

$\overrightarrow{x}=\underset{i=1}{\overset{n}{\dsum }}x_{i}\overrightarrow{%
e_{i}}\in E,X=\left[ 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
... \\ 
x_{n}%
\end{array}
\right] $, matrice colonne des coordonn\'{e}es de $\overrightarrow{x}$\ dans 
$\mathcal{B}$

$\overrightarrow{y}=\underset{i=1}{\overset{p}{\dsum }}y_{i}\overrightarrow{%
f_{i}}\in F,$ $Y=\left[ 
\begin{array}{c}
y_{1} \\ 
... \\ 
y_{p}%
\end{array}
\right] $, matrice colonne des coordonn\'{e}es de $\overrightarrow{y}$ dans $%
\mathcal{C}$. Alors : 
\begin{equation*}
\fbox{$\overrightarrow{y}=f\left( \overrightarrow{x}\right) \Leftrightarrow
Y=AX$}
\end{equation*}

D7

E4

\bigskip

DEF : si $A\in \mathcal{M}_{np}\left( K\right) ,$ l'\textit{application lin%
\'{e}aire canonique} associ\'{e}e \`{a} $A$ est l'application : 
\begin{equation*}
f_{A}:\left\{ 
\begin{array}{c}
\mathcal{M}_{p1}\left( K\right) \left( \approx K^{p}\right) \rightarrow 
\mathcal{M}_{n1}\left( K\right) \left( \approx K^{n}\right) \\ 
X\mapsto AX%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

PROP : la matrice canonique de $f_{A}$ est la matrice $A.$

D8

CORO : si $A$ et $B\in \mathcal{M}_{np}\left( K\right) ,$ alors 
\begin{equation*}
\left( \forall X\in \mathcal{M}_{p1}\left( K\right) \;\;AX=BX\right)
\Rightarrow A=B
\end{equation*}

D9

\bigskip

REM 1 : bien noter le $\forall X$ ; si $AX=BX$ pour une seule $X,$ m\^{e}me
non nulle, on ne peut pas en d\'{e}duire $A=B.$

\bigskip

REM 2 : on a \'{e}galement la relation : $f_{AB}=f_{A}\circ f_{B}.$

\bigskip

PROP : soit $A\in \mathcal{M}_{np}\left( K\right) $ dont les colonnes sont $%
C_{1},...,C_{p}$ ; alors 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1.\ $\left[ 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
... \\ 
x_{p}%
\end{array}%
\right] \in \ker f_{A}\Leftrightarrow x_{1}C_{1}+...+x_{p}C_{p}=\left[ 
\begin{array}{c}
0 \\ 
... \\ 
0%
\end{array}%
\right] $ \\ \hline
2. $\func{Im}f_{A}=$Vect$\left( C_{1},...,C_{p}\right) $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip D10

\qquad IV) MATRICES CARR\'{E}ES INVERSIBLES.

\bigskip

\qquad \qquad 1) D\'{e}finitions.

\bigskip

LEMME : si $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ sont deux anneaux isomorphes,
alors le groupe des \'{e}l\'{e}ments inversibles de $\mathcal{A}$ est
isomorphe au groupe des \'{e}l\'{e}ments inversibles de $\mathcal{B}.$

D11

\bigskip

DEF : une matrice carr\'{e}e $A\in \mathcal{M}_{n}\left( K\right) $ est dite 
\textit{inversible} si c'est un \'{e}l\'{e}ment inversible de l'anneau $%
\mathcal{M}_{n}\left( K\right) ,$ autrement dit s'il existe $B\in \mathcal{M}%
_{n}\left( K\right) $ telle que 
\begin{equation*}
AB=BA=I_{n}
\end{equation*}

\bigskip $B$ est not\'{e}e $A^{-1}.$

PROP et DEF : si $E$ est un espace vectoriel de dimension $n,$ l'ensemble
des matrices carr\'{e}es d'ordre $n$ inversibles \`{a} coefficients dans $K$
est un groupe multiplicatif isomorphe \`{a} $\left( GL\left( E\right) ,\circ
\right) .$ Il est appel\'{e} ''groupe lin\'{e}aire en dimension $n"$ et not%
\'{e} $GL_{n}\left( K\right) .$

D12

\bigskip

REM 1 : si $f\in L\left( E\right) ,$ on a donc 
\begin{equation*}
f\in GL\left( E\right) \Leftrightarrow mat_{\mathcal{B}}\left( f\right) \in
GL_{n}\left( K\right)
\end{equation*}
$,$ et si $A\in M_{n}\left( K\right) ,$ 
\begin{equation*}
A\in GL_{n}\left( K\right) \Leftrightarrow f_{A}\in GL\left( K^{n}\right)
\end{equation*}

REM 2 : $GL_{1}\left( K\right) =K^{\ast }.$

\bigskip

REM 3 : rappelons qu'un \'{e}l\'{e}ment \textquotedblright r\'{e}%
gulier\textquotedblright\ (ou \textquotedblright
simplifiable\textquotedblright ) de l'anneau $\mathcal{M}_{n}\left( K\right) 
$ est une matrice $A$ v\'{e}rifiant : 
\begin{equation*}
\forall B,C\in \mathcal{M}_{n}\left( K\right) \;\;AB=AC\Rightarrow B=C\text{
et }\;BA=CA\Rightarrow B=C
\end{equation*}

On sait qu'un \'{e}l\'{e}ment inversible est toujours r\'{e}gulier, mais il
se trouve que dans le cas des matrices, la r\'{e}ciproque est vraie (preuve
dans l'exercice 17 sur les matrices) ; ceci explique pourquoi une matrice
inversible est parfois appel\'{e}e matrice \textquotedblright r\'{e}guli\`{e}%
re\textquotedblright .

\bigskip

\qquad 2) Cas $n=2$

\bigskip

PROP : $\left[ 
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
c & d%
\end{array}
\right] $ est inversible ssi $ad\neq bc$ et $\left[ 
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
c & d%
\end{array}
\right] ^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\left[ 
\begin{array}{cc}
d & -b \\ 
-c & a%
\end{array}
\right] .$

D13

\bigskip

Exemple : $\left[ 
\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\ 
\sin \theta & \cos \theta%
\end{array}
\right] ^{-1}=\left[ 
\begin{array}{cc}
...... & ....... \\ 
...... & .......%
\end{array}
\right] $

\bigskip

\qquad 3) M\'{e}thode d'inversion d'une matrice par la r\'{e}solution d'un
syst\`{e}me.

\bigskip

LEMME : soit $A\in \mathcal{M}_{n}\left( K\right) $ ; alors s'il existe une
matrice $B\in \mathcal{M}_{n}\left( K\right) $ telle que 
\begin{equation*}
\forall X,Y\in \mathcal{M}_{n1}\left( K\right) \;\;\;AX=Y\Leftrightarrow X=BY
\end{equation*}

alors $A$ est inversible d'inverse $B.$

D14

\bigskip

En pratique, on r\'{e}sout donc le syst\`{e}me d'inconnues $%
x_{1},....,x_{n}\;$et de param\`{e}tres $y_{1},...,y_{n}$ 
\begin{equation*}
\left[ 
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} &  & a_{1n} \\ 
a_{21} & a_{22} &  & a_{2n} \\ 
... &  &  &  \\ 
a_{n1} &  &  & a_{nn}%
\end{array}
\right] \left[ 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
... \\ 
.. \\ 
x_{n}%
\end{array}
\right] =\left[ 
\begin{array}{c}
y_{1} \\ 
... \\ 
... \\ 
y_{n}%
\end{array}
\right]
\end{equation*}

Si le syst\`{e}me est ''de Cramer'', la matrice est inversible et
l'expression des solutions :

\begin{equation*}
\left[ 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
... \\ 
\\ 
x_{n}%
\end{array}
\right] =\left[ 
\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} &  & b_{1n} \\ 
b_{21} & b_{22} &  & b_{2n} \\ 
... &  &  &  \\ 
b_{n1} &  &  & b_{nn}%
\end{array}
\right] \left[ 
\begin{array}{c}
y_{1} \\ 
... \\ 
\\ 
y_{n}%
\end{array}
\right]
\end{equation*}

donne la matrice inverse.

\bigskip

E5$\;:$ inverser $\left[ 
\begin{array}{rrr}
-3 & 2 & -1 \\ 
2 & 0 & 1 \\ 
-1 & 2 & 1%
\end{array}
\right] $

\bigskip

\qquad V) CHANGEMENTS DE BASES.

\bigskip

\qquad 1) Matrice de passage d'une base \`{a} une autre.

\bigskip

\qquad \qquad a) D\'{e}finition.

\bigskip

DEF : la \textit{matrice de passage} d'une base (dite ''ancienne base'') 
\`{a} une autre (dite ''nouvelle base'') est la matrice dont les colonnes
sont les coordonn\'{e}es des vecteurs de la nouvelle base dans l'ancienne :

si $E$ $K$-espace vectoriel de dimension finie $n,$

$\mathcal{B}=\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{n}}\right)
\;$et $\mathcal{B}^{\prime }=\left( \overrightarrow{e_{1}^{\prime }},...,%
\overrightarrow{e_{n}^{\prime }}\right) \;$bases de $E,$ $\overrightarrow{%
e_{j}^{\prime }}=\underset{i=1}{\overset{n}{\dsum }}p_{ij}\overrightarrow{%
e_{i}},$ alors 
\begin{equation*}
P_{\left( \mathcal{B},\mathcal{B}^{\prime }\right) }=\left( p_{ij}\right)
_{1\leqslant i,j\leqslant n}=\overset{%
\begin{tabular}{lllll}
$\overrightarrow{e_{1}^{\prime }}$\  & ........ & $\;\overrightarrow{%
e_{j}^{\prime }}\;$ & ........ & $\overrightarrow{e_{n}^{\prime }}$\ \ 
\end{tabular}%
\ }{\left[ 
\begin{array}{ccccc}
&  & p_{1j} &  &  \\ 
&  & ... &  &  \\ 
p_{i1} & ......... & p_{ij} & ......... & p_{in} \\ 
&  & .... &  &  \\ 
&  & p_{nj} &  & 
\end{array}%
\right] }%
\begin{tabular}{l}
$\overrightarrow{e_{1}}$ \\ 
... \\ 
$\overrightarrow{e_{i}}$ \\ 
... \\ 
$\overrightarrow{e_{n}}$%
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

REM : la matrice de passage de $\mathcal{B}$ \`{a} $\mathcal{B}^{\prime }$
n'est autre que la matrice de l'identit\'{e} de $E$ relativement aux bases $%
\mathcal{B}^{\prime }$ et $\mathcal{B}$ (bien noter l'interversion) : 
\begin{equation*}
P_{\left( \mathcal{B},\mathcal{B}^{\prime }\right) }=\limfunc{mat}\;_{\left( 
\mathcal{B}^{\prime },\mathcal{B}\right) }\left( id_{E}\right)
\end{equation*}

\bigskip

\qquad \qquad b) Propri\'{e}t\'{e}s.

\bigskip

PROP : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$1.\;P_{\left( \mathcal{B},\mathcal{B}^{\prime \prime }\right) }=P_{\left( 
\mathcal{B},\mathcal{B}^{\prime }\right) }\times P_{\left( \mathcal{B}%
^{\prime },\mathcal{B}^{\prime \prime }\right) }\;$(relation de Chasles) \\ 
\hline
2. $P_{\left( \mathcal{B},\mathcal{B}\right) }=I_{n}$ \\ \hline
3. $P_{\left( \mathcal{B},\mathcal{B}^{\prime }\right) }\in GL_{n}\left(
K\right) \;($une matrice de passage est toujours inversible) \\ \hline
4. $\left( P_{\left( \mathcal{B},\mathcal{B}^{\prime }\right) }\right)
^{-1}=P_{\left( \mathcal{B}^{\prime },\mathcal{B}\right) }$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D15

\bigskip

E6

\bigskip

\qquad \qquad 2) Action d'un changement de base sur les coordonn\'{e}es d'un
vecteur.

\bigskip

PROP : donn\'{e}es :

$\mathcal{B}=\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{n}}\right)
\;$et $\mathcal{B}^{\prime }=\left( \overrightarrow{e_{1}^{\prime }},...,%
\overrightarrow{e_{n}^{\prime }}\right) \;$bases de $E,$ $P=P_{\left( 
\mathcal{B},\mathcal{B}^{\prime }\right) },$

$\overrightarrow{x}=\underset{i=1}{\overset{n}{\dsum }}x_{i}\overrightarrow{%
e_{i}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\dsum }}x_{i}^{\prime }\overrightarrow{%
e_{i}^{\prime }}\in E,X=\left[ 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
... \\ 
x_{n}%
\end{array}
\right] $ et $X^{\prime }=\left[ 
\begin{array}{c}
x_{1}^{\prime } \\ 
... \\ 
x_{n}^{\prime }%
\end{array}
\right] $ matrices colonne des coordonn\'{e}es de $\overrightarrow{x}$\ dans 
$\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}^{\prime }$. Alors : 
\begin{equation*}
\fbox{$X=PX^{\prime }$}
\end{equation*}

D16

\bigskip

REM : alors que dans $P$ on a les coordonn\'{e}es de la nouvelle base dans
l'ancienne, la relation $X=PX^{\prime }$ permet d'avoir les coordonn\'{e}es
anciennes d'un vecteur en fonction des nouvelles. Ce ph\'{e}nom\`{e}ne
s'appelle la ''contravariance''.

Il n'est en fait pas g\^{e}nant car il permet de passer d'une \'{e}quation
cart\'{e}sienne $f\left( x_{1},.....,x_{n}\right) =0$ dans l'ancienne base 
\`{a} la nouvelle \'{e}quation cart\'{e}sienne $g\left( x_{1}^{\prime
},.....,x_{n}^{\prime }\right) =0.$

\bigskip E7

\bigskip

\qquad 3) Action d'un changement de bases sur la matrice d'une application
lin\'{e}aire.

\bigskip

PROP : donn\'{e}es

$f\in L\left( E,F\right) $

$\mathcal{B}=\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{n}}\right)
\;$et $\mathcal{B}^{\prime }=\left( \overrightarrow{e_{1}^{\prime }},...,%
\overrightarrow{e_{n}^{\prime }}\right) \;$bases de $E,$ $P=P_{\left( 
\mathcal{B},\mathcal{B}^{\prime }\right) }$

$\mathcal{C}=\left( \overrightarrow{f_{1}},...,\overrightarrow{f_{p}}\right)
\;$et $\mathcal{C}^{\prime }=\left( \overrightarrow{f_{1}^{\prime }},...,%
\overrightarrow{f_{p}^{\prime }}\right) \;$bases de $F,$ $Q=P_{\left( 
\mathcal{C},\mathcal{C}^{\prime }\right) }$

$A=\limfunc{mat}_{\left( \mathcal{B},\mathcal{C}\right) }\left( f\right)
,\;\;A^{\prime }=\limfunc{mat}_{\left( \mathcal{B}^{\prime },\mathcal{C}%
^{\prime }\right) }\left( f\right) $

\bigskip Alors (relation \`{a} bien conna\^{\i}tre) : 
\begin{equation*}
\fbox{$A^{\prime }=Q^{-1}AP$}
\end{equation*}

\bigskip D17

E8

\bigskip

VI) TRANSPOSITION\ DES MATRICES.

\bigskip \qquad \qquad a) D\'{e}finition.

DEF : la \textit{transpos\'{e}e} d'une matrice est la matrice dont les
lignes ont pour coordonn\'{e}es les coordonn\'{e}es des colonnes de la
matrice de d\'{e}part (ou l'inverse) :

si $A\in \mathcal{M}_{np}\left( K\right) $ et $B\in \mathcal{M}_{pn}\left(
K\right) ,$ 
\begin{equation*}
B=\,^{t}A\text{ ou }A^{T}\overset{\text{def}}{\Leftrightarrow }\forall i\in %
\left[ \left\vert 1,p\right\vert \right] \;\forall j\in \left[ \left\vert
1,n\right\vert \right] \;\;B\left( i,j\right) =A\left( j,i\right)
\end{equation*}

\bigskip

\qquad \qquad b) Propri\'{e}t\'{e}s.

PROP : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1.$\;^{t}\left( ^{t}A\right) =A$ \\ \hline
2. $^{t}\left( A+B\right) =\,^{t}A+\,^{t}B\;\;\forall A,B\in \mathcal{M}%
_{np}\left( K\right) $ \\ \hline
3.\ $\;^{t}\left( \lambda A\right) =\lambda \,^{t}A\;\;\;\;\forall A\in 
\mathcal{M}_{np}\left( K\right) \;\forall \lambda \in K$ (lin\'{e}arit\'{e}
de la transposition) \\ \hline
4.\ $\;^{t}\left( AB\right) =\,^{t}B^{t}A\;\;\;\forall A\in \mathcal{M}%
_{np}\left( K\right) \;\;\forall B\in \mathcal{M}_{pq}\left( K\right) $ \\ 
\hline
5. \ si $A\in GL_{n}\left( K\right) \;^{t}A$ \'{e}galement, et $\left(
^{t}A\right) ^{-1}=\,^{t}\left( A^{-1}\right) \;($not\'{e}e $^{t}A^{-1})$ \\ 
\hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D18

\bigskip

\qquad \qquad c) Matrices carr\'{e}es sym\'{e}triques et antisym\'{e}triques.

\bigskip

DEF : une matrice carr\'{e}e est dite $\left\{ 
\begin{array}{l}
\text{sym\'{e}trique} \\ 
\text{antisym\'{e}trique}%
\end{array}%
\right. $ si elle est $\left\{ 
\begin{array}{l}
\text{\'{e}gale \`{a}} \\ 
\text{\'{e}gale \`{a} l'oppos\'{e} de}%
\end{array}%
\right. $ sa transpos\'{e}e : 
\begin{equation*}
A\in \mathcal{M}_{n}\left( K\right) \;\text{est\ }\left\{ 
\begin{array}{l}
\text{sym\'{e}trique} \\ 
\text{antisym\'{e}trique}%
\end{array}%
\right. \Leftrightarrow \left\{ 
\begin{array}{l}
\,^{t}A=A \\ 
^{t}A=-A\,%
\end{array}%
\right. \Leftrightarrow \forall i,j\in \left[ \left\vert 1,n\right\vert %
\right] \left\{ 
\begin{array}{l}
\,A\left( j,i\right) =A\left( i,j\right) \\ 
\,A\left( j,i\right) =-A\left( i,j\right)%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

\bigskip

Notations : 
\begin{eqnarray*}
\mathcal{S}_{n}\left( K\right) &=&\left\{ A\in \mathcal{M}_{n}\left(
K\right) \;/\;^{t}A=A\right\} \\
\mathcal{A}_{n}\left( K\right) &=&\left\{ A\in \mathcal{M}_{n}\left(
K\right) \;/\;^{t}A=-A\right\}
\end{eqnarray*}

\bigskip

PROP : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1.$\;\mathcal{S}_{n}\left( K\right) $\ et$\;\mathcal{A}_{n}\left( K\right)
\; $sont des sev de $\mathcal{M}_{n}\left( K\right) $\  \\ \hline
2.\ Toute matrice carr\'{e}e est de fa\c{c}on unique la somme d'une matrice
sym\'{e}trique et d'une matrice antisym\'{e}trique. \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D19

REM : 2. se traduit par ....................

\bigskip

PROP : $\dim $ $\mathcal{S}_{n}\left( K\right) =...........,$ $\dim $ $%
\mathcal{A}_{n}\left( K\right) =............$

D20

\qquad

\qquad VII) TRACE D'UNE MATRICE CARR\'{E}E, D'UN ENDOMORPHISME.

\qquad \qquad 1) D\'{e}finition.

\bigskip

DEF : la \textit{trace} d'une matrice carr\'{e}e est la somme de ses \'{e}l%
\'{e}ments diagonaux : 
\begin{equation*}
\fbox{$\limfunc{tr}\left( A\right) =\underset{i=1}{\overset{n}{\dsum }}%
A\left( i,i\right) $}
\end{equation*}

\bigskip

\qquad \qquad 2) Propri\'{e}t\'{e}s.

\bigskip

PROP : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1. $\limfunc{tr}\left( A+B\right) =\limfunc{tr}A+\limfunc{tr}B\;\;\forall
A,B\in M_{n}\left( K\right) \;\;$ \\ \hline
2.\ $\limfunc{tr}\left( \lambda A\right) =\lambda \limfunc{tr}%
A\;\;\;\;\;\forall A\in M_{n}\left( K\right) \;\;\forall \lambda \in K\;($lin%
\'{e}arit\'{e} de la trace) \\ \hline
3.\ $\limfunc{tr}\left( AB\right) =\limfunc{tr}\left( BA\right) \;\;\forall
A,B\in M_{n}\left( K\right) $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D21

\bigskip

PROP et DEF : toute les matrices d'un m\^{e}me endomorphisme ont la m\^{e}me
trace, qui est par d\'{e}finition la\textit{\ trace} de cet endomorphisme. 
\begin{equation*}
\forall f\in L\left( E\right) \;\forall B,B^{\prime }\;\text{bases de\ }%
E\;\;\;\;\limfunc{tr}\left( \limfunc{mat}\;_{B}\left( f\right) \right) =%
\limfunc{tr}\left( \limfunc{mat}\;_{B^{\prime }}\left( f\right) \right) 
\overset{\text{def}}{=}\limfunc{tr}f
\end{equation*}

\bigskip D22

\bigskip

REM : la trace permet donc de rep\'{e}rer rapidement une erreur lors d'un
changement de base.

\bigskip

\qquad VIII) RANG D'UNE MATRICE.

\qquad \qquad a) Matrice d'une famille finie de vecteurs dans une base.

DEF : la \textit{matrice }d'une famille finie de vecteurs dans une base est
la matrice dont les colonnes sont les coordonn\'{e}es des vecteurs de la
famille dans cette base :

si $E$ $K$-espace vectoriel de dimension finie $n,$

$\mathcal{B}=\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{n}}\right)
\;$base de $E$ et $\mathcal{F}=\left( \overrightarrow{x_{1}},...,%
\overrightarrow{x_{p}}\right) \;$famille de vecteurs de $E,$ $%
\overrightarrow{x_{j}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\dsum }}a_{ij}%
\overrightarrow{e_{i}},$ alors 
\begin{equation*}
\limfunc{mat}{}_{\mathcal{B}}\left( \mathcal{F}\right) =\left( a_{ij}\right) 
_{\substack{ 1\leqslant i\leqslant n  \\ 1\leqslant j\leqslant p}}=\overset{%
\begin{tabular}{lllll}
$\overrightarrow{x_{1}}$\  & ........ & $\;\overrightarrow{x_{j}}\;$ & 
........ & $\overrightarrow{x_{p}}$\ \ 
\end{tabular}%
\ }{\left[ 
\begin{array}{ccccc}
&  & a_{1j} &  &  \\ 
&  & ... &  &  \\ 
a_{i1} & ......... & a_{ij} & ......... & a_{ip} \\ 
&  & .... &  &  \\ 
&  & a_{nj} &  & 
\end{array}%
\right] }%
\begin{tabular}{l}
$\overrightarrow{e_{1}}$ \\ 
... \\ 
$\overrightarrow{e_{i}}$ \\ 
... \\ 
$\overrightarrow{e_{n}}$%
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

REM : le rang de la famille $\mathcal{F}$ (i.e. la dimension de l'espace
qu'elle engendre) est aussi le rang de la famille des colonnes de $\limfunc{%
mat}{}_{\mathcal{B}}\mathcal{F}.$

\bigskip

\qquad b) D\'{e}finition du rang d'une matrice.\bigskip

DEF : le rang d'une matrice de format $\left( n,p\right) \;$est le rang
(dans $M_{n1}\left( K\right) )\;$de la famille de ses colonnes :

\begin{equation*}
\limfunc{rg}\left( A\right) =\limfunc{rg}\left( C_{1},...C_{p}\right) \;%
\text{o\`{u} }C_{j}=\left[ 
\begin{array}{c}
A\left( 1,j\right) \\ 
. \\ 
. \\ 
A\left( n,j\right)%
\end{array}%
\right]
\end{equation*}

\bigskip

REM : d'apr\`{e}s la remarque ci-dessus, toutes les matrices d'une m\^{e}me
famille de vecteurs (dans des bases quelconques) ont pour rang le rang de
cette famille.

PROP : toutes les matrices d'une m\^{e}me application lin\'{e}aire ont pour
rang le rang de cette application lin\'{e}aire.

D23

\bigskip

\qquad \qquad c) Propri\'{e}t\'{e}s.

\bigskip

PROP : soit $A\in \mathcal{M}_{np}\left( K\right) ,$ $A=\limfunc{mat}%
_{\left( \mathcal{B},\mathcal{C}\right) }\left( f\right) $ ; alors 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1.\ $\limfunc{rg}\left( A\right) \leqslant \min \left( n,p\right) $ \\ \hline
2.\ $\limfunc{rg}\left( A\right) =n\Leftrightarrow f\;$est surjective \\ 
\hline
3.\ $\limfunc{rg}\left( A\right) =p\Leftrightarrow f\;$est injective \\ 
\hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

COROLLAIRE (diverses caract\'{e}risations de l'inversibilit\'{e} d'une
matrice carr\'{e}e) : soit $A\in \mathcal{M}_{n}\left( K\right) ,\;A=%
\limfunc{mat}_{\left( \mathcal{B},\mathcal{C}\right) }\left( f\right) $

$A$ est inversible si et seulement si 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1.\ $\exists B\in \mathcal{M}_{n}\left( K\right) \;\;AB=BA=I_{n}\;$(c$%
^{\prime }$est la d\'{e}finition) \\ \hline
2.\ $f\,\;$est bijective ($\Leftrightarrow \;f$ est injective) \\ \hline
3. $\limfunc{rg}\left( A\right) =n$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D24

\bigskip

\qquad IX) MATRICES \'{E}QUIVALENTES.

\bigskip

DEF : deux matrices sont dites \'{e}quivalentes si ce sont les matrices de
la m\^{e}me application lin\'{e}aire (elles ont donc forc\'{e}ment le m\^{e}%
me format) $:$ si $A,A^{\prime }\in \mathcal{M}_{np}\left( K\right) $%
\begin{equation*}
A\;eq\;A^{\prime }\;\Leftrightarrow \left\{ 
\begin{array}{c}
\exists E\;\text{de dimension }p,\exists \mathcal{B},\mathcal{B}^{\prime }\;%
\text{bases de }E \\ 
\exists F\;\text{de dimension }n,\exists \mathcal{C},\mathcal{C}^{\prime }\;%
\text{bases de }F%
\end{array}%
\right. \;/\;\left\{ 
\begin{array}{l}
A=\limfunc{mat}\,_{\left( \mathcal{B},\mathcal{C}\right) }\left( f\right) \\ 
A^{\prime }=\limfunc{mat}\,_{\left( \mathcal{B}^{\prime },\mathcal{C}%
^{\prime }\right) }\left( f\right)%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

\bigskip

PROP 1 : si $A,A^{\prime }\in \mathcal{M}_{np}\left( K\right) $ 
\begin{equation*}
A\;eq\;A^{\prime }\;\Leftrightarrow \left\{ 
\begin{array}{c}
\exists P\in GL_{.....}\left( K\right) \\ 
\exists Q\in GL_{.....}\left( K\right)%
\end{array}%
\right. \;/\;A^{\prime }=Q^{-1}AP
\end{equation*}

D25

\bigskip

PROP 2 : comme son nom l'indique, la relation d'\'{e}quivalence des matrices
est une relation d'\'{e}quivalence dans $\mathcal{M}_{np}\left( K\right) $.

\bigskip

D26

\bigskip

Deux matrices \'{e}quivalentes ont forc\'{e}ment le m\^{e}me rang, comme
matrices de la m\^{e}me application lin\'{e}aire ; nous allons voir qu'en
fait la r\'{e}ciproque est vraie.

\bigskip

LEMME 1 : pour $r$ entier $\leqslant \min \left( n,p\right) ,$ notons $%
J_{npr}$ la matrice $I_{r}$ compl\'{e}t\'{e}e \`{a} droite et \`{a} gauche
par des 0 : 
\begin{equation*}
J_{npr}=\left[ 
\begin{array}{cc}
I_{r} & 0_{r,p-r} \\ 
0_{n-r,r} & 0_{n-r,p-r}%
\end{array}
\right]
\end{equation*}

alors toute matrice $A\in \mathcal{M}_{np}\left( K\right) $ de rang $r$ est 
\'{e}quivalente \`{a} $J_{npr}.$

D27

\bigskip

TH\'{E}OR\`{E}ME 1 : deux matrices de m\^{e}me format sont \'{e}quivalentes
si et seulement si elles ont le m\^{e}me rang.

D28

\bigskip

REM : il y a donc ............ classes de matrices \'{e}quivalentes dans $%
\mathcal{M}_{np}\left( K\right) .$

\bigskip

LEMME 2 : si deux matrices sont \'{e}quivalentes leurs transpos\'{e}es le
sont \'{e}galement.

D29

\bigskip

Ceci va nous permettre d'\'{e}tablir le th\'{e}or\`{e}me extr\^{e}ment
important suivant :

TH\'{E}OR\`{E}ME 2 : une matrice a m\^{e}me rang que sa transpos\'{e}e : 
\begin{equation*}
\limfunc{rg}\left( ^{t}A\right) =\limfunc{rg}A
\end{equation*}

D30

\bigskip COROLLAIRE : le rang des lignes d'une matrice est \'{e}gal au rang
de ses colonnes :

si $A\in M_{np}\left( K\right) ,$ $L_{i}=\left[ 
\begin{array}{ccc}
A\left( i,1\right) & ... & A\left( i,p\right)%
\end{array}%
\right] ,C_{j}=\left[ 
\begin{array}{c}
A\left( 1,j\right) \\ 
. \\ 
. \\ 
A\left( n,j\right)%
\end{array}%
\right] ,$ alors 
\begin{equation*}
\fbox{$\limfunc{rg}\left( L_{1},...,L_{n}\right) $=$\limfunc{rg}\left(
C_{1},...,C_{p}\right) $}
\end{equation*}

\bigskip

Ceci permet donc d'\'{e}crire par exemple :

$\limfunc{rg}\left( \left( 1,-1,2,0\right) ,\left( 1,4,-1,2\right) \right) =%
\limfunc{rg}\left[ 
\begin{array}{cc}
.. & .. \\ 
.. & .. \\ 
.. & .. \\ 
.. & ..%
\end{array}
\right] =\limfunc{rg}\left[ 
\begin{array}{cccc}
.. & .. & .. & .. \\ 
.. & .. & .. & ..%
\end{array}
\right] =\limfunc{rg}\left( \left( ..,..\right) ,\left( ..,..\right) ,\left(
..,..\right) ,\left( ..,..\right) \right) $

\bigskip

REM : ceci permet de simplifier la recherche du rang d'une famille de
vecteurs en raisonnant \`{a} la fois sur les lignes et les colonnes.

E9 : $rg\left( \left( 1,0,3,4,0\right) ,\left( -1,4,3,8,3\right) ,\left(
3,-4,3,0,-3),(0,4,6,12,3\right) \right) .$

\bigskip

X) Application \`{a} la caract\'{e}risation du rang par matrice carr\'{e}e
extraite.

\bigskip

DEF : Une matrice est dite "extraite" d'une autre si elle est obtenue en
barrant un certain nombre de lignes et de colonnes dans la matrice de d\'{e}%
part.

\bigskip

THEOREME 3 : le rang d'une matrice est l'ordre maximal d'une matrice carr%
\'{e}e extraite inversible.

\bigskip

D31

\bigskip

\end{document}
